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Comment construire une base orthonormée à partir d'une base quelconque ?

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Introduction
  • Comment construire une base orthonormée à partir d'une base quelconque ?
Commentaires
  • Avec cette méthode, on montre également qu'il existe effectivement orthonormée.
  • Il y a une définition qui définit ce qu'est une base orthonormée. Mais cela n'assure pas l'existence d'une telle famille dans un espace euclidien quelconque donné.
Principe
  • On part d'une base (u1,...,un) d'un espace euclidien E et on remplace chaque vecteur uk par uk - pFk-1(uk) (uk auquel on retranche son projeté orthogonal sur le sous espace vectoriel engendré par (u1,...,uk-1)) 
  • On pose pour k compris entre 1 et n, Fk = Vect(u1,...,uk), le sous espace vectoriel engendré par u1,...,uk. Par exemple F1 est le sous espace engendré par u1. F2 est le sous espace engendré par la famille (u1,u2). F3 est le sous espace engendré par (u1,u2,u3) etc...
  • pF1(u2) est le projeté orthogonal de u2 sur F1 = Vect(u1).
  • D'après le cours, le vecteur u2 - PF1(u2) est un vecteur appartenant à l'orthogonal de F1
  • De même, u3 - pF2(u3) est orthogonal à F2. Donc, en particulier, ce vecteur est orthogonal à u1 et à u2.
  • On continue par récurrence.
  • Si on pose pour k variant de 2 à n, u'k = uk - pFk-1(uk), la famille (u1,u'2,...,u'n) est une famille orthogonale.
  • Il ne reste plus qu'à diviser les vecteurs par leur norme respective pour obtenir une base orthonormée.
i_orthonormalisation_1
  • On remarque une chose : F1⊂F2⊂...⊂Fk⊂Fk+1⊂...⊂Fn.
  • (u1,...,uk) et (u1',...,uk') sont toutes les 2 des bases de Fk (en posant u1' = u1)
Un exemple
  • On travaille dans R3 muni de sa structure d'espace euclidien usuelle. On considère la famille ((2,1,1),(1,2,1),(1,1,2)). Cette famille est une base de R3 (calculer son rang ou son déterminant dans une base de son choix (par exemple dans la base canonique au hasard..., etc...). On va construire une base orthonormée de R3 à partir de cette famille.
  • On va construire une première base (u1',u2',u3') orthogonale. En normalisant (on les divise par obtenir des vecteurs unitaires), on obtiendra une base orthonormée.
  • Voici comment on construit les nouveau vecteurs : 
i_orthonormalisation_2

Il peut y avoir un intérêt à travailler avec u1' et u2' plutôt que u1 et u2. Les couples de vecteurs engendrent le même sous espace vectoriel (en effet : (u1',u2') est une famille libre de 2 vecteurs de F2 = Vect(u1,u2) qui est de dimension 2. C'est donc aussi une base de F2)

i_orthonormalisation_2
i_orthonormalisation_2
i_orthonormalisation_2
Tags : orthonormalisation, base orthonormée


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