Les équivalents

• Présentation du problème

La notion d'équivalent n'est pas simple à appréhender. En quoi consiste-t-elle ?

La définition renseigne : on dit que f et g sont équivalentes en un point x0 lorsqu'il existe une fonction h de limite nulle en x0 telle que :

f = g +g.h = g . (1+h)       (1)

Comment interpréter cette égalité ?

Dans la "décomposition" de f, on remarque 2 termes en rapport avec g. Alors que le premier vaut g, le deuxième vaut g multiplier par quelque chose qui tend vers 0. On aurait tendance donc à dire que le deuxième terme a de moins en moins de poids relativement au premier lorsque la variable se rapproche de x0 puisque le deuxième terme est égal au premier multiplié par quelque chose qui tend vers 0.

Si on tient compte de la définition de fonction négligeable devant une autre, on remarque que g.h est justement une fonction négligeable devant g et la relation (1) s'écrit : f = g + o(g)

"f est égale à g + une quantité négligeable devant g".

A suivre...

• Comment calculer un équivalent ?

La question pratique de comment calculer un équivalent se pose.

Si on a compris ce qui a été dit dans le paragraphe précédent, on comprendra aisément que si dans une somme de termes il y a un terme prépondérant (un terme devant lequel tous les autres sont négligeables) alors ce terme est un équivalent de la somme.

f = g1+g2 = g1 . (1 + g2/g1) = g1 + g1.(g2/g1)

La fonction g2/g1 a pour limite 0 lorsque la variable tend vers le point en lequel on travaille. Et on considère pour simplifier les choses que g1 ne s'annule pas sur un intervalle centré en le point où on travaille (pour pouvoir effectuer le rapport) (on dit que g1 ne s'annule pas au voisinage du point).

Le rôle de h est tenu par g2/g1 qui tend bien vers 0 si on suppose que g1 est le terme prépondérant au voisinage du point de travail.

Dès lors, si on arrive à "éclater" une expression, la lecture d'un équivalent sera aisée.

A suivre...

• De quels outils dispose-t-on ?

Si on savait "éclater" les fonctions, cela serait sûrement utile. Ce sera le cas dans 2 mois. (si les 2A passent par là alors ils pourront voir de quoi il est question)

A la place on dispose d'un formulaire, de quelques situations de références, de quelques techniques classiques (factorisation par le terme prépondérant etc...).

Mais à quoi serviraient les outils si on est incapable de les lire.

Question : 0.000000000000000000001 est-il négligeable devant 1 ?

1 est-il négligeable devant 1000000000000000000000000000 ?

Réponse : non dans les 2 cas. Le rapport entre les 2 quantités ne tend ni vers 0 ni vers l'infini (suivant quelle quantité est mise au numérateur).

Question : 1 est-il négligeable devant x ?

Réponse : comment répondre si on ne nous dit pas en quel point ? Les seuls endroits où la question se pose sont en 0 et en l'infini. En effet, partout ailleurs le rapport entre 1 et x tend vers une limite finie non nulle. Donc aucun des 2 n'est négligeable devant l'autre. 1+x doit être lu 1+x sans "simplification" possible.

Qu'en est-il en 0 ? x/1 a pour limite 0 en 0. x est donc négligeable devant 1 en 0 et 1 jouera un rôle particulier (celui de terme prépondérant) dans les expressions.

Pour acheter des fruits et légumes, cela ne sert à rien. C'est vrai. Mais repérer un terme prépondérant a une utilité. On le sait depuis la terminale lorsque, grossièrement et sans souci d'esprit d'à propos, on recommandait de factoriser par le terme de plus haut degré en oubliant que c'est parce qu'on travaillait au voisinage de l'infini que cela était pertinent...

Donc x est négligeable devant 1 au voisinage de 0.

Par contre 1 est négligeable devant x au voisinage de +infini comme le montre le fait que 1/x a pour limite 0 en +infini.

De façon générale si a>b alors x^b est négligeable devant x^a au voisinage de +infini. On verse les rôles au voisinage de 0

On peut aussi relire tout le formulaire en appliquant le discours que l'on vient de tenir. Chaque fois qu'on obtient une limite égale à 0 ou l'infini, il y a une expression qui est négligeable devant l'autre...

• Et en pratique ?

Si une fonction f a une limite finie b non nulle en x0 alors f est équivalente à b en x0. En effet. lorsque f tend vers b en x0 alors f s'écrit f = b + h où h est une fonction qui tend vers 0. En fait h = f - b qui a bien une limite nulle. Puisque b est un réel non nul, on a que h est négligeable devant b. b est le terme prépondérant et est donc un équivalent de b + h.

Donc b + h est équivalent à b au voisinage de x0

Pourquoi est-ce que cela ne marche pas lorsque b = 0. On ne peut plus dire que h est négligeable devant b. Si b vaut 0, c'est même tout le temps faux.

Il va falloir ré-exploiter les formulaires et les situations connues pour pouvoir appliquer une nouvelle lecture.

A suivre...