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Projection orthogonale

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Introduction
  • Comment calculer le projetĂ© orthogonal d'un vecteur sur un sous espace ?
Commentaires
  • Il s'agit d'un cas particulier de projection : la projection sur un sous espace vectoriel parallĂšlement Ă  son supplĂ©mentaire orthogonal.
Principe
E est un R espace vectoriel de dimension n supérieur ou égal à 1.
F est un sous espace vectoriel de E.
On note F⊄, le supplĂ©mentaire orthogonal de F.
i_Projection_orthogonale_1

i_projete_orthogonal_8
Comment trouve-t-on le projeté orthogonal
Le projeté orthogonal est caractérisé par : 
i_Projection_orthogonale_Caractérisation_du_projeté_orthogonal
La suite dĂ©pend de comment on dĂ©crit F et F⊄. Mais quoi qu'il en soit, cette caractĂ©risation est et doit rester une constante. Le fait que F et F⊄ soient dĂ©crits Ă  l'aide d'un systĂšme d'Ă©quation(s) ou par l'intermĂ©diaire de la liste des Ă©lĂ©ments qui les composent ne change rien Ă  la gĂ©nĂ©ralitĂ© du problĂšme. Il faut juste pouvoir s'adapter.

Les différents cas possibles qui seront décrits dans cet article sont : 
- On dispose d'une base de F
- On dispose d'un systĂšme d'Ă©quations de F

Premier exemple
On travaille dans R3 muni de sa structure euclidienne usuelle.
F=Vect((1,1,0),(1,0,1)).

On va calculer le projeté orthogonal de z = (1,2,3) sur F. Pour cela on va utiliser la caractérisation évoquée plus haut.

Notons x le projeté orthogonal de z sur F.
On sait que x est un élément de F.
((1,1,0),(1,0,1)) est une base de F donc il existe (a,b)∈R2 tel que z = a.(1,1,0) + b.(1,0,1).
Il nous reste Ă  trouver a et b.

On sait par ailleurs que z - x est un Ă©lĂ©ment de F⊄. 
D'aprĂšs le cours, un vecteur est dans F⊄ si et seulement si ce vecteur est orthogonal Ă  chacun des vecteurs d'une base de F.
Donc (a,b) est solution de (z-x).(1,1,0) = (z-x).(1,0,1) = 0.

i_Projection_orthogonale_Exemple_1

DeuxiĂšme exemple
On travaille dans E = R3 muni de sa structure d'espace euclidien usuelle.
Soit F un sous espace vectoriel de E défini par {(x,y,z}∈E,2x+y-z = 0}

Calculer le projeté orthogonal de u = (1,1,1) sur F.

Notons pF(u) le projeté orthogonal de u sur F.pF(u) est caractérisé par : 
i_caracterisation_projete_orthogonal

On pourrait dĂ©terminer une base de F et retrouver la mĂȘme situation que prĂ©cĂ©demment.
Si on veut se contraindre Ă  travailler avec un systĂšme d'Ă©quations de F, on peut s'en sortir en trouvant un systĂšme d'Ă©quation(s) de F⊄.

  • DĂ©terminons une base de F.
i_projete_orthogonal_5
Une base de F est donc ((1,0,2),(0,1,1)).
  • DĂ©terminons un systĂšme d'Ă©quations de F⊄
i_projete_orthogonal_6
  • Calcul du projetĂ© orthogonal pF(u) de u = (1,1,1)
Notons pF(u) = (x,y,z)
i_projete_orthogonal_7
Donc pF(u) = (1/3,2/3,4/3)

Pour aller plus loin
Comment peut-on procéder plus rapidement si on dispose d'une base orthonormée de F ?

Cette partie devrait faire l'objet d'un autre article...

A suivre.



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